Black Scholes Modell Aktienoptionen

Optionen Preis: Black-Scholes-Modell Das Black-Scholes-Modell zur Berechnung der Prämie einer Option wurde 1973 in einem Papier mit dem Titel "Die Preisgestaltung von Optionen und Corporate Liabilities" veröffentlicht, die im Journal of Political Economy veröffentlicht wurde. Die Formel, die von drei Ökonomen Fischer Black, Myron Scholes und Robert Merton entwickelt wurde, ist vielleicht das weltweit bekannteste Optionspreismodell. Black verstarb zwei Jahre, bevor Scholes und Merton den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften 1997 für ihre Arbeit bei der Suche nach einer neuen Methode zur Bestimmung des Wertes von Derivaten erhielten (der Nobelpreis wird nicht posthum gegeben, doch hat das Nobel-Komitee die Schwarze Rolle im Schwarzen anerkannt - Scholes Modell). Das Black-Scholes-Modell wird verwendet, um den theoretischen Preis der europäischen Put - und Call-Optionen zu berechnen und dabei die während der Optionslaufzeit gezahlten Dividenden zu ignorieren. Während das ursprüngliche Black-Scholes-Modell die Auswirkungen der während der Laufzeit der Option gezahlten Dividenden nicht berücksichtigt hat, kann das Modell für die Dividendenausschüttung angepasst werden, indem der Ex-Dividendenwert der zugrunde liegenden Aktie ermittelt wird. Das Modell macht bestimmte Annahmen, einschließlich: Die Optionen sind europäisch und können nur ausgelaufen werden. Es werden keine Dividenden ausgezahlt während der Laufzeit der Option Effiziente Märkte (dh Marktbewegungen können nicht vorhergesagt werden) Keine Provisionen Die risikofreie Rate und Volatilität von Der zugrunde liegende ist bekannt und konstant Folgt eine lognormal verteilung, die ist, die rückkehr auf dem zugrunde liegenden wird normalerweise verteilt. Die in Abbildung 4 dargestellte Formel berücksichtigt die folgenden Variablen: Aktueller Basiswert Optionen Ausübungspreis Zeit bis zum Auslaufen, ausgedrückt in Prozent eines Jahres Angedeutete Volatilität Risikofreie Zinsen Abbildung 4: Die Black-Scholes-Preisformel für Call Optionen. Das Modell ist im Wesentlichen in zwei Teile unterteilt: der erste Teil, SN (d1). Multipliziert den Preis durch die Änderung der Call Prämie in Bezug auf eine Änderung des zugrunde liegenden Preises. Dieser Teil der Formel zeigt den erwarteten Nutzen des Kaufs der zugrunde liegenden, Der zweite Teil, N (d2) Ke (-rt). Liefert den aktuellen Wert der Auszahlung des Ausübungspreises nach Ablauf (erinnern Sie sich, dass das Black-Scholes-Modell für europäische Optionen gilt, die nur am Verfalltag ausübbar sind). Der Wert der Option wird berechnet, indem die Differenz zwischen den beiden Teilen, wie in der Gleichung gezeigt, genommen wird. Die Mathematik, die an der Formel beteiligt ist, ist kompliziert und kann einschüchternd sein. Glücklicherweise müssen jedoch Händler und Investoren die Mathematik nicht kennen oder gar verstehen, um Black-Scholes-Modellierung in ihren eigenen Strategien anzuwenden. Wie bereits erwähnt, haben Options-Trader Zugriff auf eine Vielzahl von Online-Optionen Taschenrechner und viele der heutigen Handelsplattformen verfügen über robuste Optionen Analyse-Tools, einschließlich Indikatoren und Tabellenkalkulationen, die die Berechnungen durchführen und die Optionen Preisgestaltung Werte. Ein Beispiel für einen Online-Black-Scholes-Rechner ist in Abbildung 5 dargestellt. Der Benutzer muss alle fünf Variablen (Ausübungspreis, Aktienkurs, Zeit (Tage), Volatilität und risikofreier Zinssatz) eingeben. Abbildung 5: Ein Online-Black-Scholes-Rechner kann verwendet werden, um Werte für beide Anrufe und Puts zu erhalten. Benutzer müssen die erforderlichen Felder eingeben und der Rechner macht den Rest. Rechner courtesy tradingtodayESOs: Mit dem Black-Scholes-Modell Unternehmen müssen ein Optionen-Preismodell verwenden, um den beizulegenden Zeitwert ihrer Mitarbeiteraktienoptionen (ESOs) zu erwerben. Hier zeigen wir, wie Unternehmen diese Schätzungen nach den geltenden Regeln ab April 2004 produzieren. Eine Option hat einen Mindestwert Wenn ein typischer ESO einen Zeitwert hat, aber keinen intrinsischen Wert hat. Aber die Option ist mehr wert als nichts. Minimaler Wert ist der Mindestpreis, den jemand bereit wäre, für die Option zu zahlen. Es ist der Wert, der von zwei vorgeschlagenen Rechtsakten (Enzi-Reid und Baker-Eshoo-Kongressrechnungen) befürwortet wird. Es ist auch der Wert, den private Unternehmen nutzen können, um ihre Zuschüsse zu bewerten. Wenn du null als Volatilitätseingang in das Black-Scholes-Modell nimmst, erhältst du den Minimalwert. Private Unternehmen können den Mindestwert nutzen, weil ihnen eine Handelsgeschichte fehlt, was es schwierig macht, die Volatilität zu messen. Legislative mögen den Minimalwert, weil sie die Volatilität - eine Quelle der großen Kontroverse - aus der Gleichung entfernt. Vor allem die Hightech-Gemeinschaft versucht, die Black-Scholes zu untergraben, indem sie argumentiert, dass die Volatilität unzuverlässig ist. Unglücklicherweise verursacht das Entfernen von Volatilität unfaire Vergleiche, da es alle Risiken beseitigt. Zum Beispiel hat eine 50-Option auf Wal-Mart Aktien den gleichen Mindestwert wie eine 50-Option auf einem High-Tech-Lager. Der Mindestwert geht davon aus, dass der Bestand um mindestens den risikofreien Zinssatz wachsen muss (z. B. die Fünf - oder 10-jährige Schatzanleihe). Wir veranschaulichen die Idee unten, indem wir eine 30-Option mit einer 10-jährigen Laufzeit und einer 5 risikofreien Rate (und keine Dividenden) untersuchen: Sie können sehen, dass das Minimum-Value-Modell drei Dinge macht: (1) wächst die Aktie bei Der risikofreie Zinssatz für die volle Laufzeit, (2) nimmt eine Übung an und (3) ermäßigt den zukünftigen Gewinn auf den Barwert mit dem gleichen risikofreien Zinssatz. Berechnung des Mindestwerts Wenn wir erwarten, dass eine Aktie zumindest eine risikofreie Rendite nach der Minimalwertmethode erreicht, reduzieren Dividenden den Wert der Option (da der Optionsinhaber Dividenden verzichtet). Setzen Sie einen anderen Weg, wenn wir einen risikofreien Raten für die Gesamtrendite annehmen, aber einige der Rückkehrlecks zu Dividenden, wird die erwartete Preiserhöhung niedriger sein. Das Modell spiegelt diese geringere Wertschätzung durch die Reduzierung des Aktienkurses wider. In den beiden folgenden Exponaten ergibt sich die Minimalwertformel. Die erste zeigt, wie wir einen Mindestwert für eine nicht dividendenberechtigte Aktie erhalten, der zweite ersetzt einen reduzierten Aktienkurs in die gleiche Gleichung, um die reduzierende Wirkung von Dividenden zu reflektieren. Hier ist die Mindestwertformel für eine Dividendenausschüttung: s Aktienkurs e Eulers Konstante (2.718) d Dividendenrendite t Option Begriff k Übung (Streik) Preis r risikoloser Zinssatz Sorgen Sie sich nicht um die Konstante e (2.718) ist es Nur ein Weg zu verbinden und Rabatt kontinuierlich statt Compoundierung in jährlichen Intervallen. Black-Scholes Minimalwert Volatilität Wir können die Black-Scholes als gleich den Optionen Mindestwert plus Mehrwert für die Optionen Volatilität verstehen: Je größer die Volatilität, desto größer der Mehrwert. Grafisch sehen wir den minimalen Wert als eine aufwärts abfallende Funktion des Optionsausdrucks. Volatilität ist ein Plus-up auf der Minimalwertlinie. Diejenigen, die mathematisch geneigt sind, mögen es vorziehen, die Black-Scholes zu verstehen, indem sie die Minimalwertformel nehmen, die wir bereits überprüft haben und zwei Volatilitätsfaktoren (N1 und N2) addieren. Gemeinsam erhöhen diese den Wert je nach dem Grad der Volatilität. Black-Scholes muss für ESOs bereinigt werden Black-Scholes schätzt den Fair Value einer Option. Es handelt sich um ein theoretisches Modell, das mehrere Annahmen macht, einschließlich der vollständigen Handelsfähigkeit der Option (dh der Umfang, in dem die Option bei den Optionsinhabern ausgeübt oder verkauft werden kann) und eine konstante Volatilität während der gesamten Lebensdauer der Optionen. Wenn die Annahmen korrekt sind, ist das Modell ein mathematischer Beweis und seine Preisausgabe muss korrekt sein. Streng genommen sind die Annahmen wahrscheinlich nicht richtig. Zum Beispiel braucht es die Aktienkurse in einem Pfad namens Brown'sche Bewegung zu bewegen - ein faszinierender Zufallswanderweg, der tatsächlich in mikroskopischen Partikeln beobachtet wird. Viele Studien behaupten, dass sich die Bestände nur so bewegen. Andere denken, dass Brownsche Bewegung nahe genug ist, und betrachten die Black-Scholes eine ungenaue, aber nutzbare Schätzung. Für kurzfristig gehandelte Optionen ist die Black-Scholes in vielen empirischen Tests äußerst erfolgreich, die ihre Preisentwicklung mit den beobachteten Marktpreisen vergleichen. Es gibt drei wesentliche Unterschiede zwischen ESOs und kurzfristigen gehandelten Optionen (die in der nachstehenden Tabelle zusammengefasst sind). Technisch verstößt jede dieser Unterschiede eine Black-Scholes-Annahme - eine Tatsache, die durch die Rechnungslegungsregeln in FAS 123 in Betracht gezogen wird. Dazu gehörten zwei Anpassungen oder Fixes an den Modellen natürliche Leistung, aber der dritte Unterschied - diese Volatilität kann nicht über die ungewöhnlich lange halten Leben eines ESO - wurde nicht angesprochen. Hier sind die drei Unterschiede und die vorgeschlagenen Bewertungsfixes, die in FAS 123 vorgeschlagen werden, die noch im März 2004 in Kraft sind. Die wichtigste Fix unter den geltenden Regeln ist, dass Unternehmen das erwartete Leben im Modell anstelle der tatsächlichen Vollzeit verwenden können. Es ist typisch für ein Unternehmen, ein erwartetes Leben von vier bis sechs Jahren zu verwenden, um Optionen mit 10-jährigen Bedingungen zu bewerten. Das ist eine unangenehme Fix - eine Band-Hilfe, wirklich - da Black-Scholes den eigentlichen Begriff verlangt. Aber die FASB suchte nach einem quasi-objektiven Weg, um den ESO-Wert zu senken, da sie nicht gehandelt wird (dh den ESO-Wert für ihre mangelnde Liquidität zu diskontieren). Schlussfolgerung - Praktische Effekte Die Black-Scholes sind empfindlich auf mehrere Variablen, aber wenn wir eine 10-jährige Option auf eine Dividendenausschüttung und einen risikofreien Satz von 5 annehmen, gibt der Minimalwert (ohne Volatilität) 30 Des Aktienkurses. Wenn wir die erwartete Volatilität von etwa 50 verkürzen, verdoppelt sich der Optionswert etwa auf fast 60 Aktienkurse. Also, für diese besondere Option, Black-Scholes gibt uns 60 Aktienkurs. Aber wenn es auf eine ESO angewendet wird, kann ein Unternehmen die tatsächliche 10-jährige Laufzeit in eine kürzere erwartete Leben reduzieren. Für das obige Beispiel, die Verringerung der 10-Jahres-Laufzeit auf ein Fünf-Jahres-erwartete Leben bringt den Wert auf etwa 45 des Nennwertes (und eine Reduktion von mindestens 10-20 ist typisch bei der Verringerung der Begriff auf die erwartete Leben). Schließlich bekommt die Firma einen Haarschnitt Verringerung in Erwartung von Verfall aufgrund von Mitarbeiter Umsatz. In dieser Hinsicht wäre ein weiterer Haarschnitt von 5-15 üblich. Also, in unserem Beispiel, würde die 45 weiter auf eine Kostenaufwand von etwa 30-40 Aktienkurs reduziert werden. Nach dem Hinzufügen von Volatilität und dann Subtraktion für eine reduzierte erwartete Lebensdauer und erwartete Verfall, sind wir fast wieder auf den minimalen Wert ESOs: Mit dem Binomial ModelUsing Black-Scholes, um einen Wert auf Aktienoptionen (LifeWire) setzen - Seit Jahren Unternehmen, die Bezahlte Arbeitnehmer mit Aktienoptionen könnten vermeiden, die Kosten dieser Optionen als Aufwand abzuziehen. Die Regeln haben sich im Jahr 2005 geändert, als die Rechnungslegungsbranche ihre Richtlinien für aktienbasierte Vergütungen in einer Regel namens FAS 123 (R) aktualisiert hat. Heutzutage wählen Unternehmen grundsätzlich aus einer von zwei Methoden, um die Kosten für die Angabe eines Angestellten einer Aktienoption zu bewerten: ein Black-Scholes-Modell oder ein Gittermodell. Welches auch immer sie wählen, sie müssen die Optionen Aufwendungen von ihrem Gewinn abziehen, wodurch das Ergebnis je Aktie reduziert wird. Das Black-Scholes-Modell ist eine Nobelpreisträger-Formel, die den theoretischen Wert einer Option anhand einer Reihe von Variablen bestimmen kann. Weil Optionen den Mitarbeitern arme Repliken von börsengehandelten Optionen gewähren, erfordern die Black-Scholes-Regeln eine Änderung der Mitarbeiteroptionen. Die Modellgleichung ist komplex, aber die Variablen sind einfach zu verstehen. Sie sind auch hilfreich bei der Bestimmung der Konsequenzen der Investition in Unternehmen, deren Aktien höhere Volatilität haben. Um zu sehen, ob ein Unternehmen Black-Scholes verwendet, um seine Optionen zu bewerten, und die Annahmen, die es über die Optionen macht, überprüfen Sie den letzten 10-Q-Quartalsbericht auf der Website der Securities and Exchange Commission. Warum Optionen sind schwer zu Wert Wenn ein Unternehmen einen 1 Million Bargeld-Bonus an seinen Vorstandsvorsitzenden gibt, sind die Kosten klar. Aber wenn es dem CEO das Recht gibt, eine Million Aktien der Aktie bei 25 pro Aktie irgendwann in der Zukunft zu kaufen, sind die Kosten nicht leicht zu sehen. Zum Beispiel könnte die Option wertlos werden, wenn der Bestand niemals über 25 während der Zeit, in der die Option gültig ist, steigt. Black-Scholes kann die theoretischen Kosten der Option zu dem Zeitpunkt bestimmen, an dem sie an den Mitarbeiter ausgegeben wird. Drei Faktoren beeinflussen in der Regel den Preis einer Option unter Black-Scholes, nach dem Options Industry Council, einer Handelsgruppe: Die Optionen intrinsischer Wert. Die Wahrscheinlichkeit einer signifikanten Änderung der Bestände. Die Kosten des Geldes oder der Zinssätze. Das Black-Scholes-Preismodell berücksichtigt den aktuellen Kurs einer Aktie und den Zielpreis als zwei kritische Variablen bei der Preisgestaltung auf eine Option. Eine Call-Option, die Sie sich erinnern können, gibt dem Inhaber das Recht, eine Aktie zu einem festen Zielpreis innerhalb eines bestimmten Zeitraums zu kaufen, egal wie hoch die Aktie steigt. Betrachten Sie zwei Call-Optionen auf der gleichen 10 Aktie - eine mit einem Zielpreis von 12 und einer mit einem Zielpreis von 15. Ein Investor würde mehr zahlen für die Option mit einem 12 Zielpreis, weil die Aktien müssen nur 2,01 für steigen Die Möglichkeit, wertvoll zu werden, oder im Geld. Beachten Sie, dass diese Faktoren für Mitarbeiteraktienoptionen in der Regel weniger wichtig sind. Das ist, weil Unternehmen in der Regel Mitarbeiter Optionen mit einem Zielpreis, die identisch mit dem Marktpreis am Tag der Optionen ausgestellt sind. Wahrscheinlichkeit einer signifikanten Veränderung: Zeit bis die Option im Rahmen des Black-Scholes-Modells abläuft, ist eine Option mit einer längeren Lebensdauer wertvoller als eine ansonsten identische Option, die früher abläuft. Das macht logischen Sinn: Mit mehr Zeit zum Handel hat eine Aktie eine größere Chance, ihr Zielpreis zu übertreffen. Um zu veranschaulichen, betrachten wir zwei identische Call-Optionen auf Aktien der ABT Corp. und gehen davon aus, dass es derzeit für eine Aktie handelt. Die Option, die im November ausläuft, hat weitere vier Monate, um über 43 zu steigen, also wird es wertvoller sein als eine identische Juli-Option. Mitarbeiteraktienoptionen vergehen oft viele Jahre auf der Straße, manchmal ein Jahrzehnt später. Aber Mitarbeiter üben oft lange, bevor sie ablaufen. Infolgedessen müssen Unternehmen nicht davon ausgehen, dass die Option am letzten Tag ihrer Gültigkeit ausgeübt wird. Bei der Berechnung der Kosten einer Option, werden die Unternehmen in der Regel eine kürzere Spanne - sagen wir, vier Jahre für eine 10-Jahres-Option. Es macht Sinn, warum sie das tun wollen: Unter Black-Scholes reduzieren kürzere Konditionen den Wert einer Option und reduzieren so die Kosten der Optionsscheine an das Unternehmen. Wahrscheinlichkeit einer signifikanten Veränderung: Volatilität Mit Black-Scholes ist die Volatilität golden. Betrachten Sie zwei Unternehmen, Boring Story Inc. und Wild Child Corp., die beide geschehen, um für eine Aktie zu handeln. Nun betrachte eine 30 Call-Option auf diesen Aktien. Für diese Optionen, um in das Geld zu werden, müssten die Bestände um 5 erhöhen, bevor die Option abläuft. Aus Sicht der Investoren wäre die Option auf Wild Child - die auf dem Markt wild schwingt - natürlich wertvoller als die Option auf Boring Story, die sich historisch sehr wenig von Tag zu Tag verändert hat. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Volatilität zu messen, aber alle von ihnen zielen darauf ab, eine Bestandsneigung zu zeigen und zu fallen. Die Implikation für Investoren ist, dass Unternehmen, deren Aktienkurse volatiler sind, einen höheren Preis zahlen, um Optionen an Mitarbeiter zu erteilen. Höhere Zinsen erhöhen den Wert einer Call-Option, wodurch die Kosten für die Ausgabe von Aktienoptionen an Mitarbeiter erhöht werden. Wenn die Federal Reserve Zinsen erhöht, tendiert dies dazu, Aktienoptionszuschüsse für Unternehmen teurer zu machen. Die Preise beeinflussen die Optionspreise wegen der Bedeutung des Zeitwertes des Geldes in Optionen. Betrachten Sie eine Person Kaufoptionen für 100 Aktien von ManyPenny Inc. mit einem Zielpreis von 20. Der Anleger kann nur einen kleinen Betrag für die Option zahlen, aber kann beiseite legen 2.000 zur Deckung der eventuellen Kosten für die Ausübung der Option und den Kauf der 100 Aktien von Stock. Wenn die Zinsen steigen, kann der Optionskäufer mehr Zinsen auf diese 2.000 Reserve verdienen. Infolgedessen, wenn die Zinssätze höher sind, sind Käufer von Call-Optionen in der Regel bereit, mehr für eine Option zu zahlen. Für weitere Informationen Der Financial Accounting Standards Board, ein unabhängiger Vorstand, der Standard-Rechnungslegungsverfahren festlegt, stellt eine Online-Erklärung über seine Regel FAS 123 (R) zur Verfügung. Die sich auf die Preisgestaltung von Mitarbeiteraktienoptionen und anderen aktienbasierten Vergütungen bezieht. Der Options Industry Council bietet ein Online-Tutorial zu Optionen Preisgestaltung. Die Königliche Schwedische Akademie der Wissenschaften verweist auf das Zitat von 1997, als sie den Robert Nobelpreis für Robert C. Merton und Myron S. Scholes verlieh, der in Zusammenarbeit mit dem verstorbenen Fischer Black das Black-Scholes-Optionspreismodell entwickelte.